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学习这一章，应重点掌握以下内容：

1. 一阶电路的微分方程，换路定律、时间常数的概念；

2. 零输入响应与零状态响应的概念；

3. 一阶电路的三要素求解法；

4. 二阶电路的微分方程和零输入响应。

5.1 一阶电路：零输入响应5.1.1 一阶电路与换路定律

图 8-1 为一简单的 RC 电路，当 t =0 时开关闭合后，根据 KVL，有

图 8-1 RC 一阶电路

u R （ t ）+ u C （ t ）= u S （ t ） （ t ≥0）

因为 u R （ t ）= Ri （ t ），且 i

故有

对于图 8-2 所示 RL 电路，与 RC 一阶电路对偶，当开关在 t =0 闭合后，由 KCL 得

图 8-2 RL 一阶电路

i R （ t ）+ i L （ t ）= i S （ t ） （ t ≥0）

因为

代入上式，有

观察式（8-1）和式（8-2），除了变量不同外，均为典型的一阶微分方程，因此上述 RC 电路和 RL 电路均为一阶电路。一阶微分方程的一般形式可以写为

式中，y（t）为电路的响应变量（电压或电流）；f（t）为电路的激励信号函数。

上述方程解答（响应）的变化取决于电路中开关或参数的突然变化（称为换路）前后能量的变化规律。例如，电容元件储存的电场能量

在换路时不能跃变，即电容电压不能跃变。因为电容电压的跃变将导致其电流变为无限大，这通常是不可能的。

再如，储能元件电感的储能在换路时也不能跃变。

因为能量跃变意味着电感电流跃变，而电流跃变将导致其端电压变为无限大，这也是不可能的。

由上述物理背景可知，在换路瞬间，电容的电流值有限时，其端电压 u C 不能跃变；电感上电压值有限时，其电流 i L 不能跃变。以上结论称为换路定律（ Law）。

若把换路时刻 t =0 取为计时起点，以 t =0 - 表示换路前的最后瞬间，以 t =0 + 表示换路后的最前一瞬间，则电容上电压和电感中电流可分别表示如下

式中， u C （0-）和 i L （0-）分别表示了电容和电感在（-∞，0-）全部历史的信息总结，称为储能元件的初始状态，它们反映了 t =0 前一瞬间的储能状态。令以上二式中 t =0 + ，则有

式中， u C （0 + ）和 i L （0 + ）分别称为 t =0 后一瞬间的起始值。观察式（8-4），只要在 t =0 时电容上 i （ t ）为有限值，电感上电压 u （ t ）为有限值，则一定有

5.1.2 零输入响应与时间常数

零输入响应（zero⁃input ）定义如下：

从观察的起始时刻 t 0 起不再加输入信号（即零输入），仅由 t 0 以前的历史输入或 t 0 时刻动态电路的储能状态引起的响应，称为零输入响应（或称储能响应）。

这里仍以一阶电路为例研究零输入响应。设有一阶电路，其方程为

y′ （ t ）+ ay （ t ）= f （ t ）

当外加输入为零，即 f （ t ）=0 时，其零输入响应 y （ t ）是齐次方程

满足起始值 y （0 + ）的解。由于方程的特征根 λ =- a， 则可立即写出方程的解为

在电路分析中， y （0 + ）常常不直接给出，这时就需要根据前述的换路定律，先求出 0 - 时的初始状态，然后导出 0 + 时的起始值。

在图 8-3（a）中，设开关在 t ＜0 时置于 1，且电路已处于稳态； t =0 时开关置于 2。研究开关置于 2 后，即 t ≥0 时，电容电压的变化规律。

图 8-3 电容的放电过程

由图可知，当开关置于 2 时，电容上原来充的电荷（历史输入）将通过 R 放电。这时 u C （ t ）的变化或放电电流的变化就属于零输入响应。对 t ≥0 而言，由 KVL 列写方程可得

u C （ t ）- u R （ t ）=0

因为 u R （ t ）= Ri （t ） ，且

故有

特征根

故零输入响应

为了确定 u C （0 + ），必须先确定 u C （0-）。由原电路知，开关置到 2 的前一瞬间，稳态时电容相当于开路，即电容已充满电荷，其电压

u C （0-）= U 0

又因为换路瞬间（ t =0）放电电流不可能为无穷大，所以由换路定律得

u C （0 + ）= u C （0-）= U 0

故零输入响应

相应地，零输入响应

上述 RC 电路的放电过程的快慢取决于指数式中的 RC 乘积，这一电路常数称为时间常数（time ），用 τ 表示，单位为秒（s）。它与特征根的关系为

τ 的单位之所以为秒，是因为

电路的时间常数越大，表示电压或电流的瞬态（暂态）变化越慢，反之变化越快。注意，时间常数 τ 仅与电路的参数有关，与电源和起始状态无关。

根据特征根和时间常数的关系可知， λ 的单位为 1/s（即 Hz），故有时把特征根 λ 称为固有频率。

对于简单的 RL 串联或 RL 并联电路，其时间常数为

例 8-1 如图 8-5 所示电路，已知 R =4Ω， L =0.1H， U S =24V，开关在 t =0 打开。求 t ≥0 时的电流 i， 其中电压表的内阻 R V =10 kΩ，量程为 100 V。问开关打开时，电压表有无危险？

图 8-5 例 8-1 图

解 因 t =0 - 时，电感相当于短路，故 u （0-）=0。而

所以

i L （0 + ）= i L （0-）=6 A

时间常数

可知 u （0 + ）=-60 kV。这就是说，在开关打开瞬间，电压表两端要承受 - 60 kV 的高压，而表的量程只有 100 V，所以电压表立即被打坏。工程中为安全起见，应在开关断开前先把电压表移去。

5.2 一阶电路：零状态响应5.2.1 零状态响应的概念

零状态响应（zero⁃state ）的概念叙述如下：

当电路中初始状态为零时，由外加激励信号产生的响应（电压或电流）称为零状态响应。

前已指出，一阶电路微分方程的一般形式为

y′ （ t ）+ ay （ t ）= f （ t ）

依此可以导出求零状态响应 y （ t ）的一般方法。将上式两边乘以 e at ，得

e at y′ （ t ）+ a e at y （ t ）=e at f （ t ）

即

从 0 - 到 t 积分上式，有

即

设激励 f （ t ）在 t =0 时加入，它不可能在 t =0 以前引起响应，故 y （0-）=0，从而零状态响应

1. RC 电路的零状态响应

求解一阶微分方程零状态响应可以用简单的积分方法进行。

在图 8-10 所示的 RC 电路中，设 u S （ t ）= U S 为直流，且 u C （0-）=0，对照式（8-3），这时

代入式（8-10）中，可得零状态响应

这就是电容在直流电源作用下充电时电容上电压随时间变化的规律。

由以上还可以求得电容上的电流

电阻两端的电压

设 t = t 0 时， u R 达到 U 0 ，由上式可求得

以上各响应的变化曲线如图 8-11 所示。图中设 U S =1 V， R =1 000 Ω， C =1 μF，则时间常数

图 8-11 RC 电路的零状态响应

τ = RC =1 000 × 10 -6 s=10 -3 s=1 ms

由曲线可见，电容电压 u C 由零开始按指数规律逐渐增大，开始时上升较快，随后变慢，最后达到稳态值，说明电容元件在电路中的作用由开始的短路元件逐渐变成一个开路元件。原因是电容原未充电， u C （0-）=0，当换路时， u C 不能跃变，故有 u C （0 + ）= u C （0-）=0，此时电容相当于短路。电源电压全部加在电阻上，使 u R 由零跃变为 U S ，充电电流 i 也由零跃变为最大值 U s / R， 此时电容充电速度最快， u C 上升也最快。随着极板上电荷的不断增加，充电电流 i =（ U S - u C ）/ R 就不断减小，充电速度逐渐变慢， u C 上升变慢，当 u C = U S 时，电流 i 就衰减为零值，此时电容相当于开路，充电过程结束，电路达到新的稳态。

2. RL 电路的零状态响应

如图 8-14（a）所示电路，在开关合上之前电路中无电流。开关 S 合上之后，电路中将有电流流过，线圈中亦产生磁通，因而电感中将产生感应电压，其大小决定于

图 8-14 电感的充电过程

此感应电压起着阻碍电流变化的作用，因此电流不会立即增大，而是慢慢地上升，直到电流 i = U S / R 时为止，充电过程结束，电路进入稳定状态。

由 KVL 列出方程

即

这里

代入式（8-10）中，得零状态响应

5.3一阶电路：三要素法（重点！！！此法可代替之前4.1，4.2）5.3.1 三要素的确定

到目前为止，分析一阶电路的响应时都需要先列出换路后的微分方程才能求解。本节介绍一种简便的方法——三要素法。运用这种方法，并不需要列出电路的微分方程，只要求出有关的三个量就迎刃而解了。

由前可知，一阶电路的方程常具有如下的标准形式

y′ （ t ）+ ay （ t ）= f （ t ） （ t ≥0）

它的完全响应一般由稳态响应与瞬态响应组成，对直流或阶跃信号而言，其稳态解为常数，故有

若把 t →∞ 时的稳态值记为 y （∞），且时间常数 τ =1/ a， 则上式可写为

令 t =0 + ，则完全响应的起始值为

y （0 + ）= y （∞）+ K

故常数 K 为

K = y （0 + ）- y （∞）

从而得完全响应（电流或电压）的三要素公式

具体地，对电压响应和电流响应可分别表示为

（1）求起始值 y （0 + ）。首先根据换路前，即 t =0 - 时电路所处的状态求出 u C （0-）或 i L （0-）。在直流稳态下，按电容相当于开路求出 u C （0-），按电感相当于短路求出 i L （0-）；然后依换路定律求出 u C （0 + ）或 i L （0 + ）。若要求其他元件（电阻等）的电压或电流起始值，可根据替代定理，用电压源 u C （0 + ）和电流源 i L （0 + ）分别代替电容和电感，在 t =0 + 的电阻电路中求各起始值。

（2）求稳态值 y （∞）。在换路以后，画出 t →∞ 时的稳态等效电路。在直流或阶跃（起始状态也是一种等效的阶跃）信号作用下，达稳态时，按电容相当于开路可求 u C （∞），按电感相当于短路可求 i L （∞）。当然这时的电路也为电阻电路，相应地可求得其他 y （∞）。

（3）求时间常数 τ。 因为时间常数是反映换路后瞬态响应变化快慢的量，所以求 τ 必须在换路后（ t ＞0）的电路中进行。如图 8-19 所示，由前面的分析可知，对图（a）和图（b）而言，其时间常数分别为

图 8-19 求时间常数用图

表 8-2 L、C 元件确定 y（0 + ）和 y（∞）时的等效电路

例 8-5 如图 8-20 所示电路，已知 R 1 =3 Ω， R 2 =6 Ω， C =1 F， U S =18 V， t ＜0 时电路已处于稳态。试对 t ≥0 + 求响应 u C （ t ）和 i （ t ）。

图 8-20 例 8-5 图 1

解 （1）求 u C （0 + ）。首先在 t =0 - 的电路上，即开关未合上时，求 u C （0-）。由于 t =0 - 时电路已稳定，电容上充电电流为零，电容相当于开路，故其两端电压 u C （0-）= U S =18 V，由换路定律，得

u C （0 + ）= u C （0-）=18 V

（2）求 u C （∞）。当开关合上后，电路再达稳定时，C 又相当于开路，如图 8-15（b）所示，此时 C 两端的开路电压取决于 R 2 上的分压，即

（3）求 τ。 换路后，即合上开关，断开电容 C，得到二端子电阻网络，如图 8-15（b）所示。可得戴维南等效电阻

故时间常数

τ = R 0 C =2×1 s=2 s

将以上三个要素代入式（8-17）中，得

其波形如图 8-21（a）所示。

图 8-21 例 8-5 图 2

（4）求 i （ t ）。因为 t ≥0 + 时， u C （ t ）的变化即 R 2 上电压的变化，故有

注意： i （ t ）的时间常数仍为 2s。

事实上，利用三要素公式可以求任意未知支路的电压或电流。对本例，也可利用三要素法求 i （ t ）。为求 i （0 + ），首先用大小为 u C （0 + ）的电压源代替电容，得到如图 8-21（b）所示的 t =0 + 时的等效电路，由此可得 i （0 + ）=18/6=3 A。

当达稳态时，电容相当于开路，则

因为时间常数 τ 依赖于电路的特征根（固有频率），所以电路只有一个时间常数，它决定了电流的变化快慢， τ =2s。代入三要素公式，有

与前法结果一致。这说明三要素法在一阶电路中是普遍适用的。电流的波形如图 8-21（c）所示。

小结

1. 在时间域中描述动态电路的方程是微分方程。列写电路微分方程的基本依据是 KCL、KVL 和元件的 VCR。求解微分方程，可以得到电路中电流或电压的瞬态过程（时域响应）。

2. 设 t=0 时电路发生换路，则换路定律是：若电容电流和电感电压在换路时刻为有限值，则

u C （0 + ）=u C （0 - ）

i L （0 + ）=i L （0 - ）

3. 零输入响应是由电路的初始储能产生的。对一阶电路，它的变化规律为

4. 时间常数 τ 影响瞬态响应的变化快慢。

RC 电路：τ= RC

RL 电路：τ= L / R

5. 零状态响应是由外加信号产生的，对于线性时不变电路而言，零状态响应满足叠加特性、时不变性、微分特性和积分特性。

6. 若一阶电路的激励信号为直流或阶跃函数，则电路响应可用三要素法求解，公式为

7. 单位阶跃响应 s（t）是储能为零时电路的零状态响应。对一阶电路，若方程为

y′（t）+ay（t）=bf（t）

则阶跃响应和冲激响应均可以用下式求解

8. 描述二阶电路的微分方程一般有如下形式

y″（t）+a 1 y′（t）+a 0 y（t）=bf（t）

其响应模式取决于微分方程对应的特征根 λ 1 和 λ 2 。